第15讲：《方向导数与梯度及物理意义》内容小结、课件与典型例题与练习

1、方向导数的定义

设二元函数 在点 的某邻域内有定义，向量 对应的单位向量为 ，其中 为向量 的方向角，则当极限

存在时，则称该极限为函数 在点 处沿方向   的方向导数，记作

【注】 从实际应用与通用性角度，这里定义方向导数 。有些教材对方向导数的定义 的取值可正可负，虽然可以视偏导数为其特殊情况，但是其条件对于实际应用来说太强！当然如果一个函数沿着指定方向及其反方向方向导数存在且互为相反数，则定义与   一样可得到有效结论. 对于一般向量与函数，可以定义为

2、二元函数方向导数的几何意义

设 表示空间曲面 ，则方向导数 表示过点 ，且平行于 面上的向量 和垂直于 的平面 与曲面 的交线在点 处的切线的斜率．

【注】 特别地， 与 分别为函数 在点 处沿两坐标轴方向 及 的方向导数．

3、方向导数的计算

如果函数 在点 可微，那么函数在该点沿任意方向向量 的方向导数都存在，且有

其中 为向量 的方向余弦，由于 互余，故向量 的单位向量方向余弦也可记作 ，即

4、梯度

二元函数 与三元函数 的梯度（梯度向量），记作

分别定义为：

5、多元函数方向导数与梯度的关系

方向导数是函数梯度在方向向量 上的投影：

(1) 梯度方向是函数值上升最快的方向，而函数值下降最快的方向是负梯度方向．通常，把梯度方向与负梯度方向分别叫做函数的最速上升方向与最速下降方向．

(2) 函数在最大值点或最小值点处的梯度为零向量．

(3) 与梯度方向成锐角的方向是函数上升的方向，与梯度方向成钝角的方向是函数下降的方向．

(4) 二元函数、三元函数的梯度向量分别是相应的等值线、等值面的法线的方向向量。

6、函数可微、偏导数、方向导数存在的关系

• 偏导数存在则沿着坐标轴方向的方向导数存在
• 沿着坐标轴正负方向方向导数互为相反数，则偏导数存在

关于二元函数连续性，可导性，可微性，偏导数的存在性与连续性，方向导数等内容的详细讨论与实例分析，参见中“多元函数的基本性质与全微分”章节的视频教学。

该章节供包含如下10个教学视频：

• 第1节：二元函数极限存在性的判定思路与方法

• 第2节：二元函数连续性的判定思路与方法

• 第3节：二元函数偏导数的存在性与偏导函数连续性的判定思路与方法

• 第4节：二元函数的可微性的讨论

• 第5节：二元函数连续、偏导数存在、可微关系的讨论实例分析

• 第6节：全微分与多元函数的原函数计算思路与方法实例解析

• 第7节：方向导数及常见物理量计算公式

• 第8节：偏导数与函数的变化率之求解选择题的数形结合法实例解析

• 第9节：应用二元函数的泰勒公式比较函数值的大小

• 第10节：函数值大小比较之求解选择题的特殊法实例解析

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参考课件

【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“多元函数微分法内容总结、课件与练习”查看该章节内容列表！

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